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江怡:当代西方数学哲学中的实在论与反实在论

更新时间:2015-01-01 19:20:22
作者: 江怡 (进入专栏)  

   提要:本文主要从“什么是数学实在论”、“存在教学对象吗”和“数学的基础是什么”这样三个问题入手,对当代西方数学哲学中的实在论与反实在论之争给出较为全面的分析,并指出了这种争论在哲学史中的深厚根源。作者认为,数学哲学研究对我们认识哲学的性质具有重要的启发意义,即只有清楚地把哲学看作是一种理论的构造物,而不是把它看作某种对外部世界的对应解释,我们才会理解哲学的抽象性和普遍性。

   关键词:数学实在论 数学对象 反实在论

  

   在西方数学哲学中,实在论与反实在论之间的论战历史最为久远,最早可以追溯到古希腊。柏拉图把数字看作是共相的观点被称作“柏拉图主义”而成为数学哲学中的实在论的最初代表,而亚里士多德关于数学对象只是一种“潜在”存在的观点则是反实在论的雏形。在当代英美哲学中,实在论与反实在论在数学哲学中的对立始终最为引人注目,也是这场争论中最具代表性的思想对立。

  

   一、什么是数学实在论?

   关于这个问题,不同的哲学家会给出不同的回答,但大多数人都会把“柏拉图主义”看作数学实在论的代表,它认为数字是共相,独立于数学家的运算以及普通人对它们的思考;数学就是对客观存在的实体的科学研究,就像物理学是对物理实体的研究一样;因而,数学陈述的真假取决于这些实体的性质,而这些实体本身却是独立于我们确定它们的能力。当然.在传统上,不同的哲学家对所谓的数学实体也有着不同的理解,有的把它们刻画为抽象的、物理空间之外的、永恒不变的实体,还有的则把它们描述为必然存在物,与物理世界的构成成分无关。而关于这种实体的知识通常也被看作是先天和确定的。

   显然,这种对数学实体的坚定描述会产生这样的问题:既然数学实在是先天的,独立于我们的感觉经验,那么我们又是如何获得这种先天的知识的呢?而且在非物理空间中存在的数学实体又是如何与我们所生活的这个物理世界发生联系的呢?根据柏拉图的理论,物理世界中的物质是“分有”着“形相”(Forms),而心灵则一定先于我们出生之前就存在了。当然,柏拉图的这种解释显然无法被现代的实在论者所接受,因为没有人会再相信所谓“分有”的概念以及神秘主义的解释。但弗雷格关于数的理论、哥德尔关于集合的观点以及普特南对数学命题的理解却使人感到了柏拉图主义在当代的复苏。

   弗雷格在《算术基础》中就明确提出,“每个个别的数都是一个独立的对象”,[1]这个对象不是心理学的,也不是某种心理过程的产物,而是客观的、科学的,是独立于我们对它们的思想而存在的。经验主义把“数”这个概念看作是对外在事物的抽象对象,因而它与外在事物之间就有了联系,并且可以被用于外在的物理对象等。但在弗雷格看来,这种把“数”以及其他算术和数学概念简单与外在事物联系起来的做法是非常幼稚的,因为概念本身是思想的产物,虽然它们与外在事物之间存在某种关系,但又是与外在事物完全不同的。弗雷格通过区分客观事物和客观的东西,区分思维过程和通过这种过程而认识和把握的东西,来阐明“数”这个概念的特征。他提出,数既不是外界事物的性质,也不是主观的东西,“数被赋予的仅仅是那些把外在和内在的东西、时空和非时空的东西置于其下的概念。”[2]这样,数的性质就在于,它是对概念的表达,或者说,概念才是数的承载者。当弗雷格把概念客观化之后,数也就具有了客观的性质。虽然弗雷格在现代语言哲学的语境中讨论数的问题,并且他的思想也被后人看作从语言分析的角度研究数学问题的典范,但他把思想客观化的观点以及由此产生的关于数学领域中抽象实体存在的思想,却无法避免陷入柏拉图主义的传统巢穴。

   哥德尔在逻辑上的伟大贡献是提出了关于一阶逻辑的不完全性定理。他在讨论集合论悖论时,特别从数学研究的直觉经验出发,认为集合论的最初公理是显而易见的,因为它们使我们不得不把它们看作是真的。他把数学直觉在数学中的作用比做感性直觉在物理学中的作用,认为我们在数学演算中完全是靠这种本能的直觉,正如我们的感觉经验往往会告诉我们有关物理对象的内容。哥德尔把罗素对“空类”的解释看作是一种没有集合而去系统说明整个数学的努力,而这种努力的失败恰好证明了数学实在论的合理性。他指出,整个空类理论的方案就是详尽地消除了关于逻辑之外的对象存在的假定,而这种方案的落空恰恰证明了这样的观点,即数学就建立在包含了真实内容的公理的基础之上的,而这些真实的内容是无法以任何方式被解释掉的。

   此外,哥德尔还把这种对数学直觉与物理感觉的比较扩展到对不可感觉事物的认识上。他认为,既然我们可以承认存在关于无法感知的物理对象的事实,同样,我们也可以承认存在关于无法直觉到的数学对象的事实。而我们关于这些对象的知识和信念是通过它们在理论中的作用,通过它们的解释能力,通过它们与其他成功理论之间卓有成效的相互作用等等得到辩护的。美国哲学家曼蒂(Pe—nelope Maddy)把哥德尔这种形式的柏拉图主义分做两个层次:“较简单的概念和公理是内在地由它们的直觉证明的,而更具有理论性的假设则是外在地由它们的结果证明的。”[3]但这些证明并不是先天确定的,而是由它们在各自的理论中的作用确定的。哥德尔确信,直觉式的自明、证明以及数学中的表面辩护都完全可以看作是数学的证明形式,它们与人的直觉本能都表明了原初数学是显而易见的。普特南的数学实在论在当代数学哲学中更是旗帜鲜明,这是他的科学实在论思想在数学哲学中的充分体现。[4]对此他明确写道:“一种彻底的实在论,不仅应当对通常意义下的物质对象的存在采取实在论的立场,而且也应当对数学必然性和可能性的客观性(或者等价地说,对于数学对象的存在性)采取实在论的立场。”[5]他的这种实在论主要出于两方面的考虑,即数学的经验和物理的经验。所谓“数学的经验”是指数学的高度发展、它在解决问题方面所取得的成绩以及自身的无矛盾性,这些使得数学的真理性得到了充分的证明;所谓“物理的经验”是指数学在物理学中的成功运用。他这样写道:“由于物理和数学是如此紧密地联系在一起的——离开了数学,甚至任何物理定律的表达都是不可能的——因此,对物理的客观真理性的肯定也就包含了对于数学真理客观性的肯定。……数学的经验表明在某种解释下数学是真理;物理的经验则表明这种解释是实在论的。”[6]

   但普特南并不赞同数学上的柏拉图主义。传统的柏拉图主义主张数学对象是一种绝对的、无条件的、非经验的存在,数学真理也被看作是先验的,这是普特南所不能接受的。他认为,应当把数学命题看作这样的断言,它所肯定的只是哪些事实的结构在数学上是可能的.哪些结构在数学上是不可能的。他把这种观点称作数学中的“模态逻辑观点”,并提出只要用这种观点去取代传统的“集合论的观点”,我们就可以摆脱柏拉图主义的本体论了,因为根据这种观点,数学只是借助于特殊的概念所进行的对普通事物的研究,而没有自己特殊的研究对象。所以,普特南把自己的观点看作是有限制的实在论,这种限制在于,承认数学对象的客观实在性的标准是它对于科学的必要性:如果某一个概念对科学来说是必不可少的,那么我们就应当承认这个概念代表了某种真实的存在。普特南这样写道:“我沿着以下的路线发展进行了关于实在论的一个论证:对形式科学和物理科学来说,数学对象的量化是必不可少的;因此.我们应当接受这种量化,而这样我们也就接受了相应的数学对象的存在。”[7]

   可以看出,普特南之所以反对传统的柏拉图主义,是因为他反对存在有先验真理的思想,反对把数学看作是一门先验科学。而他的根据是对数学与物理学的比较分析,从物理学这样的经验科学中寻求数学这样的抽象学科得以建立的理由。从经验主义的立场出发,普特南的这种实在论是可以得到辩护的,但从唯名论的角度看,这种实在论却是站不住脚的,因为它最终是要承认数学对象的客观存在,无论是以什么样的方式表达这种认识的。而且,在唯名论看来,只要是承认了数学对象的存在,也就意味着把数学概念看作是具有客观意义的。由于数学学科本身的高度抽象性,数学概念的这种客观性不可能来自我们所经验的外部世界,因而也就只能承认它们是独立于经验的。这就不可避免地偷运了柏拉图主义的私货。

  

   二、存在数学对象吗?

   对当代英美哲学家来说,承认数学对象的存在似乎就意味着承认了柏拉图主义,而柏拉图主义又往往被看作是传统形而上学的化身。在数学哲学中.很少有哲学家公开承认自己是柏拉图主义者,也就很少有人明确承认数学对象的存在。即使是普特南,他在为自己的实在论辩护时也竭力表明他并不是一般性地承认数学对象的存在,他用于判断数学对象存在的标准是对科学理论的必要性。但尽管如此,他的思想仍然遭到了不少哲学家的批评。其中最为激烈的批评就来自以古德曼和蒯因等人的唯名论。与传统的唯名论一样,当代数学哲学中的唯名论完全否定了数学实体的客观存在,把它们看作只是为了构成某种理论所需要的工具而已,而不坚持它们的独立存在。

   古德曼和蒯因在他们的《走向建设性的唯名论步骤》一文中,明确地表达了他们的唯名论立场,即对数学中的类、属性以及关系等抽象概念一概采取否定的态度。他们认为,所谓的集合论或数论本来就是理论构造物,因而并不存在集合或类所指的实体,如果抛弃了类、集合以及属性或关系这样的抽象概念,那么由这些概念所产生的各种悖论也就消失了。尽管古德曼和蒯因对类和集合等概念的理解不尽相同:古德曼认为这些概念是被用于指“非个体”,而蒯因则认为它们是指某些抽象实体,但他们都反对把这些概念看作代表了单个的对象。

在关于数学对象的存在问题上,古德曼还明确地表明了唯名论与柏拉图主义之间的根本对立。他指出,唯名论拒绝承认由数学概念所代表的抽象对象的存在,而柏拉图主义则把这样对象的存在看作是数学真理的必要条件。在数学语言中,唯名论反对“类”、“关系”这样的抽象概念,仅仅承认代表个体的名称以及逻辑变项等。所以,在现代唯名论的语言中,不包含关于个体之外的任何实体的名称、变项或常项,而只包含代表个体的变项、把这些变项连接在一起的量词、真值函项、连词、标点符号以及一位或多位的个体谓词,还包含个体的专名、摹状词等。古德曼认为,我们不能禁止在语言中使用包含“类”这个词的句子,但我们可以引进一些不包含这种词的谓词来代替它们。所以,在他看来,现代唯名论和柏拉图主义的不同,不在于使用了什么样的个体谓词,而是在于变项具有什么样的值。古德曼在《个体的世界》一文中这样来表述他的唯名论原则:“唯名论把世界描述为由个体构成的。要解释唯名论,我们需要解释的不是这些个体是什么,而是究竟是什么东西把这个世界描述为是由它们构成的。所以,描述这个世界,就是把它描述为由这样的实体构成的,其中的两个实体不会被分解为完全相同的实体。”[8]这里所谓的“两个实体不会被分解为完全相同的实体”,是指这样一种观点,即认为任何实体都是单一的,因而任何两个不同的实体不可能具有相同的内容。这个观点的提出是为了反对使用“类”概念.因为这个概念就是指不同的实体具有相同的内容。但在古德曼看来,既然没有两个不同的类具有相同的内容,因此,一个类既与那个恰恰包含了其全部成员的单一个体没有区别,也与其他任何其成员恰恰穷尽这同一个整体的类没有区别。所以,他写道:“柏拉图主义者可能通过大胆地提出‘纯形式’这个新的方面来区别这些实体,唯名论者则认为,实体之间如果在内容上没有区别,它们就是没有区别的。”[9]可见,古德曼是通过强调个体存在的唯一性来坚持自己的唯名论立场。蒯因在后来的思想中提出的本体论承诺又从另一方面肯定了抽象实体存在的可能性。表面上看,这种思想与唯名论背道而驰,但在基本精神上却是一致的,这就是,不把抽象概念作为实在的实体来看待。无论是完全从理论中清除这些概念,还是把它们搁置起来,(点击此处阅读下一页)


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