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张建军 桂起权 翟玉章 潘天群:关于分析哲学与辩证哲学的对话

更新时间:2014-09-28 15:39:41
作者: 张建军   桂起权   翟玉章   潘天群  
其实贝克莱恰恰帮了微积分的大忙,因为他的猛烈抨击,像喷气式助推器那样,从反面促进了微积分在数学语义学上的完善化和精细化,正像奎因对模态逻辑的抨击促进了模态可能世界语义学的发展一样。然而,必须分辨清楚,牛顿微积分(流数法)的核心理念并没有因此被证伪,只是其原先朴素的表达方式(那只是半成品),确实显得漏洞百出。这就是“扬弃”———微积分的精华最终被保留下来,“零与非零”的逻辑矛盾被抛弃。魏尔斯特拉斯引入极限论,克服了这一矛盾,使得微积分的本真的科学思想,以严密逻辑的形式得到合理表达。

   翟:极限论,x趋向于0而不等于0,消解了零与非零的疑难问题。早期的“无穷小分析”,已经进入历史博物馆。微积分建立在极限论的基础之上,再也不存在什么逻辑矛盾。现在,中学物理里,瞬时速度有了Δt→0的极限论定义,也就不需要零与非零了。大家在高中代数中都学会了极限论的运算方法,这没有什么神秘的。不信,我可以计算一下。

   桂:我知道翟老师精通微积分,细节就不用计算了。翟老师对我有关“无穷小量”那一段落的批评和质疑,是说到点子上的,切中问题的要害的,非常有价值!在我的《从辩证逻辑视角看微积分》中,确实没有充分强调,作为微积分前奏曲的“无穷小分析”与建立在极限论基础上的微积分,两者之间存在严格的区分。前者对付不了零与非零,说不清楚“零与非零”矛盾的性质,陷入“第二次数学危机”;后者使得微积分建立在极限论的科学基础之上,“无穷小量”可以在极限论基础上得到确切定义,再也不存在什么逻辑矛盾。

   我想说的是,你只是借贝克莱之力打垮了牛顿的“零与非零”,打垮了逻辑矛盾,却并没有打垮我们借极限论δ-ε语言重新武装起来的微积分辩证法!我关于“在微积分中包含有本来意义上的、不折不扣的辩证法,同时又包含不折不扣的辩证逻辑思想”的基本理念并没有被摧毁。我猜想,按照翟老师的思路来看,有了极限论,既然逻辑矛盾已经解决,那么辩证逻辑还能做些什么?但按照我和张建军的思路,辩证逻辑=知性逻辑+辩证法(那是黑格尔观点)。

   张:这是指黑格尔在《小逻辑》中说过,思辨逻辑内既包含有单纯的知性逻辑,而且从前者即可抽出后者。我们只消把思辨逻辑中的辩证法的和理性的成分排除掉,就可以得到知性逻辑③。

   我曾在与王习胜教授合著的《逻辑的社会功能》一书中追溯了黑格尔这一思想的由来,桂老师在评论该书时把黑格尔的原话浓缩成为一个公式:

   思辨逻辑-辩证法成分=知性逻辑;或,辩证逻辑-辩证法成分=形式逻辑

   桂:这里,我想说的是,尽管知性逻辑把逻辑矛盾(零与非零)消解了,辩证法的“对立面统一”的理念却并没有因此消失,相反是得到了澄清和逻辑辩护。因为能够表明原来的辩证理念在逻辑上并不自相矛盾,这样的表达就更准确、更清晰。辩证逻辑常常受人误解,以为“只要流动性,不要确定性”,其实恰恰相反,辩证逻辑的显著特点在于,能抓住“流动性概念之中的逻辑确定性”,这一点我与张建军完全一致。“没有确定性就绝无逻辑可言”!其实,我在另一篇论文《对微积分辩证法的认识》中,关于δ-ε语言的这种辩证法性质曾经做过专门分析④:

   在19世纪由法国数学家柯西和德国数学家魏尔斯特拉斯所创建的极限理论为微积分学奠定了严密的逻辑基础。柯西在总结前人经验基础上,第一次给极限这样的具有根本重要意义的概念下了严格定义,这就是:“当一个变量相继地所取的数值趋近于某个确定的值,以致它们的差终于比任意给定的量还要小的时候,那个确定的值就叫做该变量的极限。”魏尔斯特拉斯则发明了所谓δ-ε语言,使柯西的极限理论进一步系统化并符号化,变得更有可操作性。现在,我们随便打开一本微积分教程的有关函数极限的章节就不难找到这一类话:

   当任意给定一个正数ε时,就有这样的数δ存在,使得

   当|c-x|<δ而x≠c时,|A-f(x)|<ε。

   这套语言结构已经成为标准数学分析的范例。魏尔斯特拉斯所发明的“δ-ε语言”机制却是一种微妙的形式语义学构架,它像是一张能逮住两头滑的“潜无穷泥鳅”的鱼网。

   从辩证的观点看,δ-ε语言的奥妙在于,“ε是任意给定的”这一出发点本身就包含辩证矛盾。ε、δ究竟是常数还是变数?是变化的还是不变的?应当在什么条件下进行断定呢?当我们一旦“给定一个正数”时,就把ε看作确定的常数(随之而来δ也是一个确定的数),另一方面当我们想到在将要给定而尚未给定之时却有任意性,这样ε又可以看作一个变数,而δ与ε之间的相互依赖性则可以理解成某种函数关系。由此看来,δ-ε语言的优点就在于借助于卓越的数学技巧,十分机智地把握了微积分学中包含着无限性、流动性、不确定性的过程的逻辑确定性。翟老师喜欢极限论的理由,重点在于形式逻辑,因为它既打击了“零与非零”这个幽灵、鬼东西,又通过克服逻辑矛盾保全了微积分。我也喜欢极限论,同样赞赏这些,但我有更进一步的理由,重点在于辩证逻辑!用事实说话,对于δ-ε语言,说“这是辩证法的极好的规定”依然恰到好处。它仍然是作为辩证法的核心的“对立面统一”极生动的例证。因为我和张建军所主张的辩证逻辑,正是要强调抓住“流动性之中的逻辑确定性”,如果以为“流动性=一切”,那就没有边界,没有规矩,无法无天了,就滑到相对主义与诡辩论那边去了!

   三、运动本身就是矛盾?

   翟:有一件特别需要澄清的事情是,讲辩证法的朋友,总是喜欢讲赫拉克利特的“人不能两次踏进同一条河”,把它作为同一律失效的例子。那完全是陷入了和赫拉克利特一样的逻辑混乱。这里的真相是,人两次踏进的可以是同一条河流,只是不可能是同一条河流的同一河段(

   river-stage)。只要我们承认历时性对象,这里并没有任何麻烦。还有一件事情使得我倍感困惑。据恩格斯说,运动之所以可能,就在于运动的物体在同一瞬间既在同一个地方又不在同一地方。他声称:如果不是这样,运动就是完全不可能的了。我总觉得,这个解释似乎是文不对题的,因为这个命题已经包含赤裸裸的逻辑矛盾。这样的矛盾如何能以与逻辑矛盾有所区别的辩证矛盾视之呢?

   桂:对黑格尔与恩格斯关于“运动本身就是矛盾,……物体在同一瞬间既在一个地方又不在这一个地方”的论断,林邦瑾在1982年8月全国第二届辩证逻辑会议上,作了精确刻画。他具体运用了集合论、极限论(微积分)与衍推逻辑(entailmentlogic)的工具,他的处理技巧的要点可以复述如下:(1)他采用“极限论”的眼光不把“瞬间”和“地点”当作一个固定的、孤立的点,而是当作一个无穷小的过程和区间。(2)“瞬间”可以分析为时间[t1,t2],又进一步分析为“前半瞬间”[t1,t'1)和“后半瞬间”(t'1,t2]。(3)“地点”可分析为空间区间[s1,s2],又可分析为“前一半地点”[s1,s'1)和“后一半地点”(s'1,s2]。(4)“同一瞬间在同一地点”的精确说法是:“若时间在[t1,t2]整个瞬间,则位置在[s1,s2]整个地点”;符号表达式为t∈(t1,t2]→s∈[s1,s2)。(5)“同一瞬间不在同一地点”的精确说法是:若时间进到(t'1,t2]这后半瞬间,则位置不在[s1,s'1)那前一半地点;符号表达式为t∈(t'1,t2]→s∈[s1,s'1)。这是最关键的。(4)、(5)合取能刻画“既在又不在”。(6)通过无限增加中间点,时间区间、空间区间都被无限细分,全瞬间与后半瞬间在极限情况下变为同一,整个地点与后一半地点也实现“极限同一”。这无限多个包含无穷小时空区间的命题的合取,实际上无限精确地刻画了关于运动的“辩证矛盾”的逻辑内容。林邦瑾的论文题为《一个“矛盾”命题的无矛盾形式》。主编将其改名为:《数学方法在辩证逻辑中的应用》⑤。按其本意,就是想要把形式逻辑的“无矛盾原则”贯彻到底,他认为,一切辩证法论题(即包含“辩证矛盾”的命题),在逻辑上并不自相矛盾。并且最典型、最有代表性的“辩证矛盾”命题,就是涉及“运动”的。其他“辩证矛盾”命题几乎都可以直接化解掉。

   翟:但我还是不明白,一个严肃的逻辑的形式系统,怎样可能容纳矛盾却不会解体呢?

   桂:我猜想,关于矛盾,你在很大程度上仍然受司各特规则的困扰,A与非A岂不推出任意B了吗?情况是这样:一些非经典逻辑已经取消了司各特规则。例如,相干逻辑和次协调逻辑。相干逻辑就不能允许前后件不相干的蕴涵式为真(诸如“2×2=5蕴涵纽约是一个大城市”,A与非A蕴涵任意B,都是不相干的)。

   翟:那么,在次协调逻辑中,什么样的矛盾是许可的?什么样的矛盾仍然是不许可的?新逻辑怎么处理矛盾?是怎样取消司各特规则的?

   桂:人们从非形式的语义上区分“辩证矛盾”与“逻辑矛盾”可谓不遗余力,然而从句法观点看,如果对上述两类矛盾缺乏明晰的形式化的鉴别标准,辩证矛盾和永假式(A合取非A)在语形上仍然相同。那么,对于建构形式系统来说,仍然于事无补。按照次协调逻辑的句法框架来重新划分:trivialcontradiction(平庸矛盾)———被定义为“使形式系统内任何公式都变成定理”者;nontrivialcontradiction(不平庸矛盾)———被定义为“不会使形式系统内任何公式都变成定理”者⑥。前者是不合法的、不允许存在的,后者是合法的、允许存在的。这样就毫无歧义可言。

   翟:这只是句法上的划分,它规定了哪一种矛盾在形式系统内、能不能存在。并没有从语义上回答问题。那么,应当如何将句法上合法的矛盾,与语义上合理的矛盾挂钩起来?

   桂:那是一个语用学问题。什么与什么挂钩,是由语言使用者自主决定的。例如,辩证论者会把“辩证矛盾”作为语义上合理的矛盾与句法上合法的矛盾对应起来。形式系统能够正常运演,具有可操作性。

   翟:那么,司各特规则是怎样被取消的?

   桂:也不是简单地被取消,而是受限制。次协调逻辑Cn命题演算的前11公理,是从经典逻辑继承而来。但第12公理是最有特征性的:(A∧A)→(A→B)→(A→B)→A),意思是,仅在虚设矛盾律成立(前件)的前提下,归谬律才会成立(后件)。这样一来,矛盾律、归谬律、司各特规则都只在限定情况下才成立,一般情况下并不普遍有效。形式矛盾(A∧A)不再任意扩散。反过来说,经典逻辑在通常情况下的简单高效的功能却没有任何实质性损失。

   翟:看起来,次协调逻辑像是一种变异逻辑,和标准逻辑的核心理念根本不同,恐怕在概念上并不能直接地相互定义。

   桂:是的。苏珊·哈克从逻辑哲学观点出发,把“变异逻辑”规定为这样一种非经典逻辑系统,即使当它的合式公式是一致的时候,其定理与经典逻辑定理仍然相互不一致。

   四、矛盾一词的确切含义是什么?与辩证法究竟有什么样的联系?

   潘:“辩证矛盾”究竟是什么东西?矛盾能否客观存在?辩证矛盾与逻辑矛盾究竟是什么关系,需要解惑。

   桂:张建军早就有专论。他的《如何区分逻辑矛盾与辩证矛盾》,对几十年来的争论和分类作出了最系统、最精细的分析⑦。

   翟:矛盾概念,在马克思主义经典作家那里有歧义。运动“既在同一个地方又不在同一个地方”的矛盾,与“资本家和雇佣劳动者”的矛盾完全不一样,怎么能够同日而语?

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