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陈晓平:事件的独立性和可交换性——评德菲耐蒂的主观主义概率理论

更新时间:2014-09-28 11:54:42
作者: 陈晓平(华南师大) (进入专栏)  

  

   摘要:德菲耐蒂坚持用“可交换性”代替传统概率论的“独立性”概念,一方面是出于拒斥形而上学的哲学考虑,另一方面是出于逻辑上的考虑。德菲耐蒂注意到关于未知常概率的假说对于试验结果的依赖性,这似乎与传统概率论赋予常概率事件的独立性相冲突,独立性概念将使这种假说失去“从经验中学习”的特征。本文表明,关于未知常概率的假说对于试验结果的依赖性同具有未知常概率的事件的独立性之间并无矛盾,而德菲耐蒂却把这种事件与相关的假说混为一谈。此外,德菲耐蒂把确定可交换事件的根据即无差别原则最终归结为一种心理习惯,使他不得不在归纳合理性问题上回到休谟的立场,而与他想要超越休谟的初衷是相违的。

  

   一、引 言

   德菲耐蒂(Bruno de Finetti)在其1937年发表的《预见:其逻辑规律和主观来源》一文中系统地阐述了主观主义的概率理论,并且称之为“贝叶斯主义”(Bayesianism)。 德菲耐蒂独立地给出大弃赌定理(theorem of Dutch Book)的证明,尽管主观主义概率论的另一位创始人拉姆齐(Frank P. Ramsey)已经提前几年给出类似的证明。此外,德菲耐蒂还证明了“意见收敛定理”(the convergence theorem for opinion) 。意见收敛定理的大意是:对于可交换事件,无论其初始概率(验前概率)是怎样的,只要按照贝叶斯公式不断地用新证据加以修正,所得到的验后概率将趋于一致。这个定理使得主观主义概率论具有了客观性,把频率理论的诱人之处包含进来但却避免了它的困境,显示出主观理论强大的解释力和生命力。

   德菲耐蒂在那篇文章中开宗明义地说道:“我试图提出关于我特别感兴趣的两个题目的一般看法,并澄清把这两个题目统一起来的微妙关系。一方面,那里存在着概率(我把它看作一种纯主观对象)的定义及其规律的意义问题,另一方面,那里存在着‘可交换’事件与随机量的概念和理论的问题。这两个题目的联系在于:按照概率的主观主义的概念,后一理论提供了对于最典型的归纳推理问题的解决(并且一般而言澄清了提出归纳问题的方式)。” 简言之,德菲耐蒂最感兴趣的是概率的主观解释和关于可交换事件的概念,这两个题目结合起来就是意见收敛定理,这一定理提供了对归纳问题的解决,包括从频率得出概率的典型归纳推理。如所周知,归纳推理的合理性问题也叫做“休谟问题”,看来,德菲耐蒂想要超越休谟对这一问题的否定性答案。

   德菲耐蒂提出“可交换性”(exchangeability)概念只是为了替换传统概率论中的“独立性”(independence)概念。他承认,这一替换并不影响最重要的意见收敛定理的得出,只是影响对这一定理的理解,从而影响对归纳推理的合理性问题的解决。然而,不少学者认为,德菲耐蒂的“可交换性”概念是多余的,甚至是本末倒置的。笔者也持这种看法,进而认为德菲耐蒂的这一做法反而对归纳问题的解决带来某些不利的影响。本文将对此给以论证。

  

   二、可交换性与独立性

   “独立性”、“独立事件”或“独立重复试验”等属于传统概率论的最重要的概念。例如,任意地重复投掷一枚硬币就是一个独立重复试验,一次投掷后硬币的正面(或反面)朝上就是一个独立事件。独立事件的直观特征是,它在每一次试验中出现的概率不受其他试验结果的影响,亦即它有一个恒定的概率。

   我们对德菲耐蒂举的一个例子进行分析 :连续地投掷一枚匀称硬币n次,硬币落下后正面朝上的次数有n+1种可能性,即0、1、2、…n,但这些可能结果的概率是不一样的。如,正面出现0次的结果和正面出现n次的结果各有一种可能性,而正面出现1次的结果则有n种可能性,即此结果可以出现在第一次投掷,也可以出现在第二次投掷,等等。一般而言,在n次投掷硬币中正面朝上r次的可能情况有 种, 相当于从n个不同元素中取出r个元素的组合数。硬币正面朝上在n次试验中出现r次的每一可能结果的概率是 ,这里的p为硬币正面朝上在这n次试验的每一次试验中出现的概率,对于匀称的硬币来说p为1/2,(1-p)为正面朝上不出现即反面朝上的概率,也为1/2。一共有 个这样的可能结果,故有以下公式:

  

   如果我们把连续地投掷匀称硬币的例子换成连续地投掷一枚匀称的骰子,所讨论事件是骰子下落后一点朝上,每一次试验中一点朝上的概率p为1/6, 以上公式成为:

  

   我们看到,在这两个例子中有一个共同点,即:在假定试验结果为A这一基本事件有一个常概率p的情况下,在n次试验中A出现r次这一复合事件(记为 )的概率Pn(r)仅仅是n和r的函数,而与这r个基本事件在n次试验中出现的次序是无关的。这意味着, 有关复合事件 的 种可能结果是等概率的,均为 ,因而可以相互交换。
需强调,得出以上结论的一个前提是:在这一系列的试验中,对于任何一次试验而言,其结果为A这一基本事件的概率是一个常数p,即基本事件具有常概率;在这个意义上,该基本事件——投掷匀称硬币正面朝上,或投掷匀称骰子一点朝上——也属于可交换事件;也就是说,该基本事件在n次试验中出现的位置(次序)可以任意交换,因为它的概率无论在哪里都是p。

   这里有两个可交换事件,一是可交换的复合事件 ,另一是可交换的基本事件即“试验结果为A”。不难看出,复合事件的可交换性是由基本事件的可交换性决定的,而基本事件的可交换性是由试验机制决定的,如随意地投掷一枚匀称的硬币或骰子。

   德菲耐蒂说:“特别有意思的是研究概率不依赖于试验次序的情形。在这样的情形中,每一个在n次试验中有相同频率r/n的结果都有相同的概率,即ω_r^((n) )/(_r^n)(即 ——引者);如果满足这个条件,我们将说,被考虑的那一类事件,例如在上面的例子中的各次掷币,是可交换的(相对于我们关于概率的判断)。” 请注意,德菲耐蒂所说的“可交换”是相对于我们关于等概率的判断而言的,可见,关于等概率的判断更为基本。等概率的判断与无差别原则密切相关,对此我们将在本文最后一节给以讨论。

   常概率(constant probability)自然具有等概率的性质。常概率可以是已知的,如在上面讨论的投掷匀称硬币或匀称骰子的情形中,也可以是未知的,如在投掷不匀称硬币或骰子的情形中。在这后一种情形中,尽管我们不知道每一次投掷的硬币下落后正面朝上的概率是什么,但我们知道它的概率是固定的,即P=a,而a是区间[0,1]中的某个未知的常数;这意味着,在对这枚硬币的一系列投掷中,正面朝上的结果是具有恒定而未知概率(constant but unknown probability)的独立事件。然而,德菲耐蒂不满意“独立性”这种说法,为此他提出“可交换性”取而代之。

   德菲耐蒂说道:“‘可交换事件’相当于我们通常看作‘具有未知的常概率p的独立事件’的那些事件……旧定义不能去掉它的——比如说——形而上学的性质:人们将不得不假定,在与我们的判断相符合的那种概率分布之外,必定有另一个未知的、有某种实在的东西相应的概率分布,并且假定,关于未知分布的不同的假设——按照这些假设,各种试验不再是相关的,而是独立的——将构成我们可以考虑其概率的那些事件。从我们的观点看来,这些陈述完全没有意义。”

   从德菲耐蒂的这段话可以看到,他反对“具有未知常概率的独立事件”这个提法出于两个理由;其一是出于哲学上的考虑,另一是出于逻辑上的考虑。在前一种哲学考虑中,他反对“在概率之外还有相应的独立实体”这种形而上学的观点。看来,德菲耐蒂接受了早期逻辑实证主义的“拒斥形而上学”的口号。然而,逻辑实证主义的这一口号如果说当年还是很有号召力的,现在看来已经过时了。况且,即使没有过时,这个口号也是很有争议的,不足为凭。更有甚者,德菲耐蒂不喜欢的“独立重复试验”的原意主要是指一系列的试验结果之间互不影响,而不涉及是否存在独立于试验结果及其概率的实体的问题。这也就是说,“独立重复试验”所说的“独立”主要是指试验技术上的独立,而不是形而上学的独立。关于这个“独立”,德菲耐蒂似乎给以过度的阐释,把它主要地看作形而上学的独立。

   德菲耐蒂的第二种理由即逻辑上的考虑略为复杂,以下几节给以详细讨论。

  

   三、已知常概率和未知常概率

   德菲耐蒂的逻辑考虑涉及“具有已知常概率的事件”和“具有未知常概率的事件”之间的区分,他认为前者有资格被叫做独立的,而后者没有这种资格。因为我们关于前者的概率已经确定,不会再受某些试验结果的影响;与之不同,后者的概率尚未确定,我们关于它的认识需要根据试验结果加以调整,也就是说,后者恰恰依赖于试验结果,因而不是独立的。德菲耐蒂说道:“的确,宣称罐中的黑球和白球一样多表达了一个可以直接加以证实的客观事实,并且很好地定义了相对于一个给定客观事件的条件概率。相反,如果像第三章中谈到的例子那样,用一枚表面不规则的硬币玩游戏,就没有权利把这样一个假定——这种不完整美对于‘未知概率’有或多或少显著的影响——看成是清楚的假设,因为这个‘未知概率’不能定义,而且,一个人想要以这种方式引进的假设没有客观意义。”

   在德菲耐蒂看来,当我们知道一个罐中的黑球和白球一样多时,我们就可以确定从那个罐中取出一个黑球的概率是1/2;而且当我们有放回地继续取球,这个概率保持不变。这时,我们有理由说:从那个罐中取到黑球是一个具有常概率为1/2的独立事件。这种情况类似于投掷一枚匀称硬币的游戏。与之不同,投掷一枚不匀称硬币的游戏,其正面朝上的概率不是1/2 ,而且它是什么我们事先也无法知道,只有等到做了一系列试验之后才能近似地确定。因此,对这个未知概率做出独立性的假设是无意义的。这样,德菲耐蒂区分了两种独立性,其一是已知其常概率的事件的独立性,此独立性是有意义的;另一是未知其常概率的事件的独立性,此独立性是无意义的。为此,德菲耐蒂用“可交换性”把这两种“独立性”统一起来,可交换性对于已知其常概率的事件和未知其常概率的事件都是有意义的。

笔者认为,德菲耐蒂夸大了已知常概率事件和未知常概率事件在独立性上的差别。对于投掷匀称硬币的游戏,我们说正面朝上的概率是1/2,这也只是相对于我们现有的知识而言的,即这枚硬币看上去是匀称的。不能排除一种可能性,即这枚硬币只是表面上是匀称的,而实际上它的正面和反面的质料是不同的,只是我们看不出来,这使投掷这枚硬币后出现正面朝上的概率并不是1/2。对于投掷不匀称硬币的游戏,我们虽然不能确定其正面朝上的概率是什么,但是只要我们知道其投掷的过程是随机进行的,或者说,试验机制对于试验结果是无差别的——例如我自己就是投掷者并且是完全随意投掷的以致各次投掷是无差别的,这使得,无论正面朝上的概率是什么,投掷结果是互不影响因而其概率是独立的。我们对于这个未知的概率如此做出独立性的假设,应该说是无可非议的。由此可见,投掷匀称硬币和投掷不匀称硬币这两种情况的差别是相对的,(点击此处阅读下一页)


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