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陈晓平:无差别悖论及其解决

更新时间:2014-09-28 12:15:35
作者: 陈晓平(华南师大) (进入专栏)  

  

   摘要:无差别原则及其悖论由来已久。当代归纳逻辑的创始人凯恩斯曾为消除这些悖论付出巨大的努力。本文介绍了若干典型的无差别悖论和对它们的一些尝试性解决,还追溯到贝叶斯方法的创始人曾经受到的类似困扰。笔者提出一种新的解决方案,其核心是对古典无差别原则加以试验机制的限制和提出从参数θ到f(θ)的线性无差别条件。最后指出,古典无差别原则作为经验性的启发原则仍可保留,它同作为逻辑原则或准逻辑原则的试验机制无差别原则是并行不悖和相互补充的。

  

   无差别原则(the Principle of Indifference)是确定基本概率的原则之一,它在概率论、统计学和现代归纳逻辑中占居重要的地位。不过,一个有趣的现象是,人们对于无差别原则的质疑正如人们对它的使用一直没有间断。无差别原则的致命缺陷在于它会导致逻辑悖论,即无差别悖论。

  

   一、无差别原则

   "无差别原则"这个名称得自于现代归纳逻辑的创始人之一凯恩斯(John M. Keynes),但是事实上这个原则几乎是伴随概率概念一道出现的。早在18世纪初概率论处于草创阶段,概率论的先驱者之一J•伯努利(Jakob Bernoulli)就把它命名为"不充分理由原则"(the Principle of Non-sufficient Reason)。大约一个世纪以后,古典概率论的集大成者拉普拉斯(Pierre S. Laplace)把它正式地作为概率论的理论基础。

   古典概率概念是以"等概事件"(equally possible cases)为初始概念的,古典概率的定义是:P(A)=m/n,意为:事件A的概率等于A所包含的m个基本事件在全部n个基本事件中所占的比例,而基本事件的概率是相等的。那么,如何确定基本事件的等概性呢?拉普拉斯告诉我们:"概率是相对的,部分地相对于我们的无知,部分地相对于我们的知识。我们知道在三个或更多事件中有一个将要发生;但是没有什么能使我们更为相信其中某一个事件而非其他事件发生。在这种不确定的情形下,我们不可能确定地宣称它们的发生。"([1],p.6)这也就是说,我们的知识或无知使我们无法对所讨论事件的可能性持有倾向性意见,即认为哪一个比哪一个更可能发生,那么我们就应该赋予这些事件以相等的概率。基本事件的等概性成为我们计算其他事件的概率的基础。请注意,拉普拉斯确定等概事件的依据包含了人们的无知,换言之,相等的知识或相等的无知都是确定等概事件的理由。显然,这种确定等概事件的原则是对伯努利的不充分理由原则的继承,具有认识论的甚至主观主义的色彩。

   然而不幸的是,这样表述的无差别原则(不充分理由原则)很容易导致逻辑悖论。拉普拉斯注意到这一点并给出他自己的解答。他举出一个例子:A女士被告知一个硬币是有偏向性的,但却未被告知偏向哪一面,并且被要求说出这枚硬币投掷后正面朝上的概率。一方面,A女士根据无差别原则判定这枚硬币正面朝上和反面朝上的概率均为1/2,既然她对这枚硬币倾向于哪一面的问题是完全无知的。另一方面,A女士有理由说:这枚硬币正面朝上的概率不为1/2,既然已知它是有偏向性的。这样,对于这枚硬币正面朝上的概率P就有两种相反的答案:P=1/2和P 1/2,这是一个逻辑悖论。对于这个逻辑悖论,拉普拉斯的解答就是坚持前者而放弃后者。(参见[1],p.56)这一解答无异于是对无差别原则的无条件地维护,难免是武断的和缺乏说服力的,并没有从根本上解决问题。事实上,由无差别原则导致的逻辑悖论层出不穷,以致后来的凯恩斯不得不认真地对待这一问题。

   在维护无差别原则这一点上,凯恩斯同拉普拉斯是一致的,因为凯恩斯也认为量化的概率只有通过等概的候选者来得到。凯恩斯对无差别原则的最初表述是:"无差别原则宣称,如果没有已知的理由对我们题目中的一个候选者做出比其他候选者更强的断言,那么,相对于这样的知识,关于每一个候选者的断言有着相等的概率。"([2],p.42)这一表述同拉普拉斯和伯努利的意思是基本相同的,不过,面对由它所引起的各种逻辑悖论,凯恩斯给予更多的考虑和更为认真的对待。

  

   二、无差别悖论

   前面谈到一个简单的无差别悖论,事实上早在拉普拉斯之前就有学者提及此类悖论,凯恩斯则对这些由来已久的悖论给予集中的表述。这里介绍其中有代表性的三个,即书悖论、酒-水漏悖论和随机弦悖论。

   首先讨论书悖论。某人要去某个陌生的图书馆取一本他从来没有看到过的书,他考虑这本书的封面是红色的概率是什么。他没有理由在这本书是红的和这本书是非红的之间做出倾向性的意见,根据无差别原则,他赋予概率P(红)= P(非红)=1/2。按照同样的推理方式,他对于这本书是蓝的、绿的或黄的均赋予概率P(蓝)=1/2,P(绿)=1/2和P(黄)=1/2,这些概率之和大于1。然而,这本书是红的、蓝的、绿的或黄的这些断言之间是互斥的,根据概率演算规则,互斥事件的概率之和小于或等于1。这便同前面的概率赋值发生冲突。

   其次讨论酒-水悖论。有一瓶酒和水的混合液,对它我们只知道其中两种液体的比值不超过3:1,至于哪个多哪个少以及其他信息一概不知。由此我们能够确定酒对于水的比例在区间[1/3,3]之内,即1/3≤酒/水≤3,但是具体在哪一点上我们没有理由持有倾向性意见。根据无差别原则,酒对水的比例的概率是均匀分布在区间[1/3,3]之上的。相应地,酒对水的比例不超过2的概率是均匀地分布在区间[1/3,2]之上的。因此,后者的概率是:

  

   同理,水对酒的比例也是在区间[1/3,3]之内,即1/3≤水/酒≤3,并且其概率均匀地分布在该区间。相应地,水对酒的比例不小于1/2的概率均匀地分布在区间[1/2,3]。因此,后者的概率是:

  

   我们知道,水对酒的比例在区间[1/3,3]内不小于1/2与酒对水的比例在该区间不大于2恰好是同一事件,但却被无差别原则赋予两个不同的概率值。

   最后讨论随机弦悖论,它属于几何概率悖论。这个悖论略为复杂,是由伯特兰(J. Bertrand)于1889年提出。对一个确定的圆随机地挑选它的一条弦,现问这条随机弦的长度大于该圆的内接等边三角形的边长的概率是什么?这一概率记为P(CLSE),对它的计算可以根据无差别原则以三种方式来进行。

   从图1可以看到,延长YO与XZ相交于W,OWZ是一个直角三角形,并且XW=WZ。此外,OW=R•sin300=R/2。我们可以依据这些几何学事实来给出第一种计算。图2中的线段AB代表一条随机弦,OW从圆心出发垂直于AB并与圆相交于C。结合图1给出的几何学事实可知,AB的长度大于内接等边三角形的边长,当且仅当,OW<R/2。然而,我们没有理由倾向于设定W在OC的某一点而非其他点上。根据无差别原则,W在OC上各点的概率分布是均匀的,相当于OW的长度在区间[0,R]上的概率分布是均匀的,显然,

  

   关于P(CLSE)的第二种计算可以参考图3,其中AB是一条随机弦,AA A 是内接于该圆的等边三角形。在圆周上的A点画一条切线,θ是该切线与AB之间的角度。显然,AB的长度大于内接等边三角形的边长,当且仅当,60o<θ<120o。然而,我们没有理由倾向于设定θ是0o到180o之间的某一值而不是其他值,根据无差别原则,θ在区间[0o,180o]上是均匀分布的,因此,

   P(CLSE)=P(60o<θ<120o)=1/3

  

  

   关于P(CLSE)的第三种计算是:在半径为R的主圆内画一个半径为R/2的同心圆(如图4),主圆的随机弦AB的长度大于其内接等边三角形的边长,当且仅当,AB的中点W处于小圆之内(参考图1和图2)。然而,我们没有理由倾向于设定W处于主圆内的某一点而不是其他点,根据无差别原则,P(CLSE)是在主圆内是均匀分布的。因此,

  

    以上应用无差别原则对P(CLSE)的三种计算分别得出三个不同的结论,即P(CLSE)=1/2、P(CLSE)=1/3和P(CLSE)=1/4,这是一个逻辑矛盾。

  

   三、线性无差别条件

   在这一节,我们要对导致无差别悖论的原因给予进一步的分析,进而引出线性无差别条件。
首先考虑书悖论,其可疑之处是,对那本书的封面是红的和是非红的赋予相等的概率,即P(红)=P(非红)=1/2。然而我们知道,非红的并不只是一种颜色,而是可以分为多种颜色如蓝、绿、黄等,而且我们的常识是图书馆的书的颜色不只有两种。因此,一般而言,P(红)<P(非红)。在此情况下,对书为红色和书为非红色应用无差别原则是不恰当的。因此,我们应当对无差别原则的使用加以限制。凯恩斯正是这样做的,他说:

   "令φ(a1)、φ(a2)、…φ(ar)是我们试图通过无差别原则赋予等概率的候选者,h是证据。那么,应用无差别原则的一个必要条件是:相对于该证据,φ(x)形式的候选者是不可分的(indivisible)"([2],p.60)

   据此,我们对那本书的颜色的两个候选者即"那本书是红的"和"那本书是非红的"不能使用无差别原则,因为后者能以同样的方式进行划分,即分为"那本书是蓝的""那本书是绿的",等等。既然在这里不能使用无差别原则,那么,由无差别原则导致的书悖论便不复存在了。

作为比较,我们举一个类似的但却能够使用无差别原则的例子。假定我们正在考虑一辆汽车的颜色,对这辆汽车我们只知道它生产于某厂和某年,通过查阅该厂的产品目录,我们又知道该厂于那一年生产的汽车只有红、黑、白三种不同的颜色。在这些信息的基础上,我们可以断言那辆汽车是这三种颜色之一,但却没有理由倾向于断言它具体是哪一种颜色。于是,根据无差别原则我们可以说:这辆汽车是红的概率为1/3。一般认为,这是对无差别原则的正确使用并且符合凯恩斯的不可分条件。但需指出,这种不可分性往往是人为的,而不是客观上本来如此的。如颜色在客观上并不只有红、黑、白这三种,而且其中任何一种颜色还有深浅之分,只是该汽车厂只取这三种颜色,(点击此处阅读下一页)


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